Question

已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n

Answer 1

解题思路：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．

由f（x）=x²+bx求导得：f′（x）=2x+b，

∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，

∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x²+x

所以f（n）=n（n+1），

∴[1

f(n)＝

1

n(n+1)=

1/n−

1

n+1]

∴S₂₀₁₃的值为1-[1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/2013]-[1/2014]=1-[1/2014]=[2013/2014]

故答案为：[2013/2014]

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．

考点点评： 本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．