解题思路:(1)分别求出f(x)和g(x)的导函数,设出两函数图象的公共点M的坐标,由两函数图象在公共点处有相同的切线,把M的横坐标代入两导函数中求出的导函数值相等得到一个关系式,记作①,把M的横坐标代入两函数解析式中得到的函数值相等,记作②,把①化简后解出a等于一个关系式,记作③,把②化简后,记作④,把③代入④消去a得到关于点M横坐标的方程,求出方程的解即可得到点M横坐标的值,把横坐标的值代入③即可求出a的值;
(2)设F(x)=f(x)-g(x),求出导函数,由x的范围得到导函数值大雨0,即F(x)为增函数,根据闭区间x的范围,求出F(x)的最大值,根据最大值大于0列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围.
(1)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的公共点为M(x0,y0),
由题意得:
f′(x0)=g′(x0)
f(x0)=g(x0),即
a2
x20−2ax0=−a①
1
3a2
x30−
ax20+
2
3=−ax0+1②.
由①得a(ax02-2x0+1)=0,
∵a>0,且x0≠0,
∴a=
2x0−1
x20.③
由②得[1/3]a2x03-ax02+ax0-[1/3]=0.④
把③代入④,得[1/3(
2x0−1
x20)2•
x30]-
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负判断函数的单调性,会利用导数求闭区间上函数的最大值,是一道中档题.