Question

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆Γ的两焦点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知求出椭圆的长半轴长，结合离心率求出半焦距，再由b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）联立直线l₁的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标与纵坐标的和，再把l₂的斜率用含有a，b，k₁的代数式表示，则结论得到证明；

（Ⅲ）直接类比椭圆的结论得到关于双曲线E：

x

2

a

2

-

y

2

b

2

=1的一个相类似的结论．

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，

∵|PF₁|+|PF₂|=4，

∴2a=4，即a=2，

又离心率e＝

c

a＝

1

2，

∴c=1，b²=4-1=3，

∴椭圆Γ的方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），

联立

y＝k1x+m

x2

a2+

y2

b2＝1，消去y，得

(b2+a2k12)x2+2k1ma2x+a2m2−a2b2＝0．

∴x1+x2＝

−2k1ma2

b2+a2k12，y1+y2＝k1•

−2k1ma2

b2+a2k12+2m＝

2mb2

b2+a2k12

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题是直线与圆锥曲线关系的综合题，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．