已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2011

1个回答

  • 由题意得,任意数带进去都满足原式.此类题目要先代入几组数找出规律

    4f(1)f(0)=f(1)+f(1)即f(0)=2f(1)=1/2

    找他的一般规律,设y=1

    则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)

    即f(x)=f(x+1)+f(x-1)

    由已知的f(1)=1/4,f(0)=1/2算出f(1)=f(1+1)+f(0)

    即f(1)=f(2)+f(0)

    即f(2)=f(1)-f(0)=-1/4

    由以上原理可推知当x=0,1,2,3,4,5,6,7,8……时

    f(x)=1/2, 1/4,-1/4, -1/2, -1/4, 1/4, 1/2, 1/4, -1/4

    寻其中规律为分母以2,4,4为一周期循环,正负号除x=0,1外以-,-,-,+,+,+为一周期循环

    这样可推知f(2011)=1/4