求微分方程y′+y/x=x+3+2/x的通解.
先求解方程dy/dx+y/x=0；分离变量得dy/y=-dx/x；积分之得lny=-lnx+lnC₁=ln(C₁/x)；
故得y=C₁/x；用参数变换：将C₁换成x的函数u,即有y=u/x.(1)；
对x取导数得dy/dx=(1/x)(du/dx)-u/x².(2)；将(1)和(2)代入原方程得：
(1/x)(du/dx)-u/x²+u/x²=x+3+2/x
即有(1/x)(du/dx)=x+3+2/x；
分离变量得du=(x²+3x+2)dx,
积分之得u=x³/3+3x²/2+2x+C,代入(1)即得通解为:y=(1/3)x²+(3/2)x+2+C/x.