解题思路:先换元,令t=2x,则关于 t 方程为t2+at+a+1=0 有实根,令
a=
−
t
2
−1
t+1
,结合基本不等式即可解出实数m的取值范围.
令2x=t>0,原方程即为t2+at+a+1=0
.⇒a=
−t2−1
t+1=−(t+1)−(
2
t+1)+2,t>0⇒a≤−2
2+2,
当且仅当t=
2−1时等号成立.
故实数a的取值范围是(−∞,2−2
2].
点评:
本题考点: 函数的值域;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
考点点评: 本题考查方程根存在的条件,方程的根即对应函数的零点,体现换元的数学思想,注意换元过程中变量范围的改变.