Question

设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组α1－a2－2α3,α2-α3,α3也线性无关.

Answer 1

设 b1=a1-a2-2a3,b2=a2-a3,b3=a3,

因此 b1、b2、b3 可以用 a1、a2、a3 线性表出,

而 a3=b3,a2=(a2-a3)+a3=b2+b3,a1=(a1-a2-2a3)+(a2-a3)+3a3=b1+b2+3b3,

因此 a1、a2、a3 也可以用 b1、b2、b3 线性表出,

所以向量组｛a1,a2,a3｝与｛b1,b2,b3｝的秩相等,

由于 a1、a2、a3 线性无关,所以 b1、b2、b3 也线性无关.