数列求和的倒序相加,裂相相消,错位相减,分别是什么

2个回答

  • 倒序相加 就像高斯算法

    一般用于等差数列求和

    如1+2+3+4+.+99+100 倒过来写成100+99+98+97+...+2+1

    就直接成了100个101相加 结果再除以2

    这种方法使用范围比较窄 除非出现了特殊的数列

    如An+A1=常数

    裂项相消

    这种题型一般用于等差数列连乘的情况下

    An=1/n*(n+1) 这样An=((n+1)-n)/n*(n+1) =1/n -1/(n+1)

    An=1/n*(n+k) k为常数

    给分子分母同乘k 即An=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k -n)/(n*(n+k))

    =(1/k)*(1/n - 1/(n+k) )

    An=1/n*(n+k)(n+2k)

    k为常数

    给分子分母同乘2k

    即An=2k/2k*n*(n+k)(n+2k)

    =(1/2k)*(n+2k - n)/n*(n+k)(n+2k)

    =(1/2k)*(1/n*(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)

    往后4项5项的见得就少了

    对于其他裂项

    出现(An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列

    还有一种就是强行的裂项

    An=n*(2^n)

    设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1)+(B3-B2)+.(Bn+1 - Bn )

    =Bn+1 - Bn

    观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n

    直接设Bn=(Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)

    把2^(n+1)写成2*2^n 再把2乘进去就是

    Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=(2Kn+2K+2T)2^n

    An=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n

    与An对比得

    K=1 2K+T=0 所以T=-2

    Bn=(n-2)*2^n

    Sn=Bn+1 - B1 =(n-1)2^(n+1)+2

    An=n*(2^n)也可以用下面的错位相减来求

    但是如An=(n^2 +1)2^n 错位相减要两次很复杂 用裂项就简单了

    设Bn=(kn^2 + Tn + C)2^n 再按照上述步骤走下去(高考不考)

    错位相减

    主要用于等比数列与等差数列想乘的情况 方法就是乘上公比 再错位

    如An=1/2^n

    设S=1/2 + 1/4 +1/8 + .+1/2^n

    2S=1+1/2 + 1/4 +1/8 + .+1/2^(n-1)

    错位相减得S=1-1/2^n

    An=n/2^n

    设S=1/2 + 2/4 + 3/8+.n/2^n

    2S= 1 + 2/2 + 3/4+.n/2^(n-1)

    错位相消后

    S=(1+1/2+1/4.+1/2^(n-1) )-n/2^n

    =2- 1/2^(n-1)-n/2^n

    就想起这么多了