由根的判别式=0可得
16(a2+b2+c2)^2=16*3(a2b2+b2c2+c2a2)
(a2+b2+c2)^2=3(a2b2+b2c2+c2a2)
a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=3(a2b2+b2c2+c2a2)
a4+b4+c4-(a2b2+b2c2+c2a2)=0 两边同*2
2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=0
（a2-b2)^2+(a2-c2)^2+(b2-c2)^2=0
所以
a2-b2=0,a=b
a2-c2=0,a=c
b2-c2=0,b=c
所以a=b=c
三角形ABC为等边三角形
x^2=3(a2b2+b2c2+c2a2)/4
4x^2=3(a2b2+b2c2+c2a2)
4x^2=(a2+b2+c2)^2
(a2+b2+c2)^2=3(a2b2+b2c2+c2a2)
a^4+b^4+c^4-(a2b2+b2c2+c2a2)=0
(a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)^2=0
a^2=b^2,a=b(取正数）
同理b=c=a
等边三角形