Question

已知函数f（x）=2sinx+cosx，且g（x）=f（x）•（f′（x）+7sinx）

Answer 1

（1）∵f′（x）=2cosx-sinx…1分

∴g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）

=10sin ²x+10sinxcosx+2

=5

2 sin（2x-

π

4 ）+7…4分

又x∈[0，

π

2 ]时，2x-

π

4 ∈[-

π

4 ，

3π

4 ]，sin（2x-

π

4 ）∈[-

2

2 ，1]，

∴g（x）∈[2，7+5

2 ]…8分

（2）g（A）=12⇒sin（2A-

π

4 ）=

2

2 ，…10分

∵∠A是△ABC的最大内角，∴A∈[

π

3 ，π]，2A-

π

4 ∈[

5π

12 ，

7π

4 ]，

∴2A-

π

4 =

3π

4 或

π

4 （舍），…13分

解得A=

π

2 …14分