解题思路：不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集⇔|x-3|+|x-4|≥a恒成立，令f（x）=|x-3|+|x-4|，利用绝对值不等式可求得f（x）min=1，从而可得答案．
∵不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，
∴|x-3|+|x-4|≥a恒成立，
令f（x）=|x-3|+|x-4|，则a≤f（x）min．
∵f（x）=|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，即f（x）min=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围是（-∞，1]，
故选：A．
点评：
本题考点： 绝对值不等式的解法．
考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的应用，突出等价转化思想的考查，属于中档题．