Question

已知函数 f（x）=1+a•2x2x+1 是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用函数是奇函数的性质，由f（0）=0解a即可．

（2）利用定义证明还是函数单调性．

（3）利用函数的单调性解不等式即可．

（1）因为函数的定义域为R，且函数为奇函数，所以f（0）=0，

即f（0）=[1+a/2＝0，解得a=-1．

（2）因为a=-1，所以f(x)＝

1−2x

1+2x]，

设x₁＜x₂，则f(x1)−f(x2)＝

1−2x1

1+2x1−

1−2x2

1+2x2＝

2(2x2−2x1)

(1+2x1)(1+2x2)，

因为x₁0，即f（x₁）＞f（x₂），

所以函数为减函数．

（3）因为函数f（x）的图象经过点（1，−

1

3），所以f（1）=−

1

3，

所以不等式f（x²-2mx+m+1）≤−

1

3等价为f（x²-2mx+m+1）≤f（1），

由（2）知函数为减函数，

所以x²-2mx+m+1≥1恒成立，即x²-2mx+m≥0恒成立．

所以△=4m²-4m≤0，解得0≤m≤1．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．