已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若圆C的切线在x轴y轴上截距相等

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  • (1) 设相等的截距为a,则切线方程为 x+y=a,即 y= -x+a

    代入圆的方程:x²+ (-x+a)²+2x-4( -x+a)+1=0

    整理得 2x²+ (6-2a)x+a²-4a+1=0

    则 Δ= (6-2a)²-4·2·(a²-4a+1)=0

    解得 a=1±2√2

    切线方程为 x+y-1-2√2=0 或 x+y-1+2√2=0

    (2) 圆C:x²+y²+2x-4y+1=0 配成标准方程为

    (x+1)²+(y-2)²=4

    其圆心坐标为 C(-1,2),半径为 r=2,

    则 |PM|²= |PC|²-r² = (x+1)²+(y-2)²-4………………①

    |PO|²=x²+y²,

    因为|PM|=|PO|,

    所以 (x+1)²+(y-2)²-4=x²+y²

    整理得 y=x/2+1/4

    代入① |PM|²= (x+1)²+(x/2+1/4-2)²-4

    =5/4 x²-1/4 x+1/16

    =5/4 (x+1/10)²+1/20

    所以,当x= -1/10 时,|PM|最小为 √(1/20)=√5/10,

    即当P点坐标为 ( -1/10,1/5) 时,|PM|最小为 √5/10.