设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能

2个回答

  • 解题思路:用反证法求解;先设三个方程都有两个相等的实数根,则三个方程的△=0,经过推导得出与已知互相矛盾,从而证明原结论成立.

    证明:假设题中的三个方程都有两个相等的实数根,不妨设这三个方程的根的判别式为△1,△2,△3

    则有

    △1=4b2−4ac=0 ①

    △2=4c2−4ab=0 ②

    △3=4a2−4bc=0 ③.

    由①+②+③得:a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,

    有2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,

    即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

    ∴a=b=c,这与已知a,b,c为互不相等的非零实数矛盾,

    故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根.

    点评:

    本题考点: 反证法;根的判别式.

    考点点评: 考查根的判别式,学习反证法的应用.