Question

定义在R上的函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+3同时满足以下条件：

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3ax ²+2bx+c

∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）

由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分）

又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分）

由①②③得： a=

1

3 ，b=0，c=-1 ，

即 f(x)=

1

3 x 3 -x+3 …（4分）

（Ⅱ）由已知得：

若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1

设h（x）=4lnx-x ²+1

m＞h _min，对h（x）求导，导数在（0，

2 ）大于零，（

2 ，e）小于零，即h（x）先递增再递减，

当x=

2 ．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5-e ²．

∴实数m的取值范围是（5-e ²，+∞）．