(1)
A,B的纵坐标相同,则对称轴为x = (1 + 3)/2 = 2
y = a(x - 2)² + d
A(1,-3): a + d = -3
C(-1,5):9a + d = 5
a = 1,d = -4
y = (x - 2)² - 4 = x² - 4x
(2)
M(2,-4)
OM的斜率为k = -4/2 = -2
OP的斜率为k' = -1/k = 1/2
OP的方程为y = x/2
与抛物线联立得x = 9/2,P(9/2,9/4)
也可以设P(p,p²,PO² + OM² = MP², 结果相同.
(3)
抛物线取绝对值后,其x轴以下的部分翻折到x轴上方(见图)
直线斜率为1/2
设想该直线从m很小(负值)的位置开始向上平移：
(i) 开始时二者无公共点
(ii) 直线过(4,0)时,二者有一个公共点, 此时4/2 + m = 0,m = -2
(iii) 直线继续向上平移时,开始有两个公共点,直至过原点,此时m = 0, 有三个公共点
(iv) 继续向上平移时,有4个公共点,直至与翻折到x轴上方的部分相切
(v) 与翻折到x轴上方的部分相切时, 有3个公共点.此部分抛物线为：y = -x² + 4x
与直线联立,-x² + 4x = x/2 + m
取判别式49-16m = 0,m = 49/16
(vi) 继续向上平移,m > 49/16, 此时有两个公共点
iii与vi结合,-2 < m < 0或m > 49/16