设当x→0时,f(x)=ex-[1+ax/1+bx]为x的3阶无穷小,则a=[1/2][1/2],b=−12−12.

1个回答

  • 解题思路:由当x→0时f(x)是x的3阶无穷小,可以得到

    lim

    x→0

    f(x)

    x

    3

    =0

    lim

    x→0

    f(x)=0

    ,就可以求出未知数a和b.

    当x→0时,f(x)是x的3阶无穷小,

    则:

    0=

    lim

    x→0

    f(x)

    x3=

    lim

    x→0

    ex−

    1+ax

    1+bx

    x3=

    lim

    x→0

    ex+bxex−1−ax

    x3(1+bx)=

    lim

    x→0

    ex+bxex−1−ax

    x3

    =

    lim

    x→0

    ex+bex+bxex−a

    3x2(一次洛必达法则应用,并记此式为①)

    =

    lim

    x→0

    ex+2bex+bxex

    6x(二次洛必达法则应用,并记此式为②)

    由①知:

    lim

    x→0(ex+bex+bxex−a)=1+b−a=0,

    由②知:

    lim

    x→0(ex+2bex+bxex)=1+2b=0,

    从而解得:b=−

    1

    2,a=

    1

    2.

    点评:

    本题考点: 高阶无穷小、低阶无穷小.

    考点点评: 此题考查k阶无穷小的概念以及洛必达法则的使用,熟悉这两个知识点,便能容易解出此问题.