已知函数f(x)=ax2+bx2+cx的导函数为h(x),f(x)的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为3x-y+

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  • 解题思路:(Ⅰ)根据导数的几何意义,以及切线方程,建立方程关系,即可求出a,b,c的取值,

    (Ⅱ)将不等式2f(x)≤g(x)-m+x+1对于任意x∈[0,+∞)恒成立,进行参数分离,利用导数求函数最值,即可求实数m的取值范围.

    (Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2+cx,

    ∴h(x)=f′(x)=3ax2+2bx+c,h′(x)=6ax+2b,

    ∵h′(-[2/3])=0,∴6a×(-[2/3])+2b=0,即b=2a,①

    ∵f(x)的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0,

    ∴当x=-2时,f(-2)=2,且切线斜率f′(-2)=3,

    则f(-2)=-8a+4b-2c=2,②,

    f′(-2)=12a-4b+c=3,③,

    联立解得a=1,b=2,c=-1,即f(x)=x3+2x2-x,

    ∵函数y=ln(x+1),

    ∴y′=[1/x+1]

    ∴函数在原点处的切线斜率为1,

    ∵g′(x)=k(ex+xex),∴g′(0)=k=1.

    (Ⅱ)若2f(x)≤g(x)-m+x+1对于任意x∈[0,+∞)恒成立,

    则等价为x3+2x2+2x≤xex-m+x+1对于任意x∈[0,+∞)恒成立,

    即m≤-x3-2x2-x+xex+1=x(ex-x2-2x-1)+1恒成立,

    则只需要求出x(ex-x2-2x-1)+1在[0,+∞)上的最小值即可,

    设m(x)=x(ex-x2-2x-1),

    则m′(x)=ex-x2-2x-1+x(ex-2x-2)

    ∵m′(0)=1+2>0,m′(1)=2e-5<0,

    ∴m′(x)=0,必有一个实根t,且t∈(0,1),m′(t)=0,

    当x∈(0,t)时,m′(x)<0,

    当x∈(t,+∞)时,m′(x)>0,

    m(x)的最小值为m(t)=t(et-t2-2t-1)=t(1-t2)>0,

    则x(ex-x2-2x+2)+1≥1,

    即m≤1.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查导数的几何意义,以及利用导数求函数的最值,求函数的导数,将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决本题的关键.运算量大,综合性较强.