Question

设函数f（x）=e x +1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．

Answer 1

（1）函数f（x）=e ^x+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=e ^x-（e-1）x-1

∴H′（x）=e ^x-（e-1），

令H′（x）=0，则x ₀=ln（e-1）

当x∈（-∞，x ₀）时，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x ₀）单调递减

当x∈（x ₀，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x ₀，+∞）单调递增

故H（x） _min=H（x ₀）=e ^{x ₀} -（e-1）x ₀-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1

令t=e-1＞1，函数h（t）=t-tlnt-1，

因为h′（t）=-lnt＜0，所以函数h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）单调递减，故h（t）≤h（1）=0，

又e-1＞1，故H（x ₀）＜0，从而H（x）有两个零点；

（2）①证明：因为f（a _n）=g（a _n+1），即 e a n +1=（e-1）a _n+1+2，所以a _n+1=

1

e-1 （ e a n -1）

下面用数学归纳法证明a _n∈（0，1）

1°当n=1时，a ₁∈（0，1）成立；

2°假设当n=k时，a _k∈（0，1），则a _k+1=

1

e-1 （ e a k -1）

∵a _k∈（0，1），∴1＜ e a k ＜e，∴0＜＜e-1

∴0＜a _k+1＜1

综上知，a _n∈（0，1）；

②∵（e-1）a _n+1-a _n= e a n -1-a _n，

考虑函数p（x）=e ^x-1-x（0＜x＜1）

∵p′（x）=e ^x-1＞0，

∴p（x）在（0，1）上是增函数

故p（x）＞p（0）=0

∴（e-1）a _n+1-a _n＞0

∴（e-1）a _n+1＞a _n．