求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.

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  • 解题思路:根据韦达定理证明充分性,必要性,从而得出它们的正确性,进而得出结论.

    证明:(1)充分性:∵m≥2,∴△=m2-4≥0,

    方程x2+mx+1=0有实根,

    设x2+mx+1=0的两根为x1,x2

    由韦达定理知:x1x2=1>0,∴x1、x2同号,

    又∵x1+x2=-m≤-2,

    ∴x1,x2同为负根.

    (2)必要性:∵x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负,且x1•x2=1,

    ∴m-2=-(x1+x2)-2=-(x1+

    1

    x1)-2

    =-

    x12+2x1+1

    x1=-

    (x1+1)2

    x1≥0.

    ∴m≥2.综上(1),(2)知命题得证.

    点评:

    本题考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.

    考点点评: 本题考查了充分必要条件,考查了二次函数的性质,韦达定理,是一道中档题.