Question

对于一切x∈[-2，[1/2]]，不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：分x=0，x＞0，x＜0三种情况讨论，分离参数a后利用导数求函数的最值，从而求得实数a的取值范围．

当x=0时，对于任意实数a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；

当0＜x≤

1

2时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≥−

1

x3−

1

x2+

1

x．

设t=[1/x] （t≥2），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），

当t≥2时，f′（t）＜0，∴f（t）=-t³-t²+t为减函数，∴f（t）_max=f（2）=-10，

∴a≥-10；

当-2≤x＜0时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≤−

1

x3−

1

x2+

1

x．

设t=[1/x] （t≤−

1

2），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），

当t∈（-∞，-1）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，当t∈（-1，-[1/2]）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，

∴f（t）_min=f（-1）=-1．

∴a≤-1．

综上，对于一切x∈[-2，[1/2]]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10，-1]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属中高档题．