解题思路:(I)先对函数求导,令导函数大于0得到递增区间,令导函数小于0得到递减区间,进一步求出最小值;
(II)由(I)可知当b>0时,有
f(b)≥f(x
)
min
=−
1
e
,整理可得要证的结论.
(III)构造函数g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0),利用导函数判断出g(x)的单调性,进一步求出g(x)的最小值为
g(
k
2
)
整理可得证.
(Ⅰ)∵f'(x)=lnx+1(x>0),
令f'(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1.…(1分)
∴x≥e−1=
1
e.,
∴x∈[
1
e,+∞).
同理,令f′(x)≤0可得x(0,
1
e].
∴f(x)单调递增区间为[
1
e,+∞),单调递减区间为(0,
1
e].…(3分)
由此可知y=f(x)min=f(
1
e)=−
1
e.…(4分)
(Ⅱ)由(I)可知当b>0时,有f(b)≥f(x)min=−
1
e,
∴blnb≥−
1
e,
即ln(bb)≥−
1
e=ln(
1
e)
1
e.
∴bb≥(
1
e)
1
e.
(Ⅲ) 设函数g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0)
∵f(x)=xlnx,
∴g(x)=xlnx+(k−x)ln(k−x),
∴0<x<k.
∵g′(x)=lnx+1−ln(k−x)−1=ln
x
k−x,
令g′(x)>0,则有
x
k−x>1⇒
2x−k
k−x>0⇒
k
2<x<k.
∴函数g(x)在[
k
2,k)上单调递增,在(0,
k
2]上单调递减.
∴g(x)的最小值为g(
k
2),即总有g(x)≥g(
k
2).
而g(
k
2)=f(
k
2)+f(k−
k
2)=kln
k
2=k(lnk−ln2)=f(k)−kln2,
∴g(x)≥f(k)-kln2,
即f(x)+f(k-x)≥f(k)-kln2.
令x=a,k-x=b,则k=a+b.
∴f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2.
∴f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查了导数的应用:利用导数判断函数的单调性及求单调区间;函数在区间上的最值的求解,其一般步骤是:先求极值,比较函数在区间内所有极值与端点函数.若函数在区间上有唯一的极大(小)值,则该极值就是相应的最大(小)值.