由f（x）=x2-ax+a+3知f（0）=a+3,f（1）=4,
又存在x0∈R,使得f（x0）＜0,
知△=a2-4（a+3）＞0即a＜-2或a＞6,
另g（x）=ax-2a中恒过（2,0）,
故由函数的图象知：
①若a=0时,f（x）=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0,显然不成立．
②若a＞0时,g（x0）＜0⇔x0＜2
a＞0
f(2)＜0
⇒a＞7
③若a＜0时,g（x0）＜0⇔x0＞2
此时函数f（x）=x2-ax+a+3图象的对称轴x=
a
2
＜−1,
故函数在区间（
a
2
,+∞）上为增函数
又∵f（1）=4,
∴f（x0）＜0不成立．
故答案为：（7,+∞）．