Question

设p:方程X的平方+mX+1=0有两个不等的负根,q:方程4X的平方+4(m-2)X+1=0无实根.

Answer 1

对于二次方程根的问题,一般通过二次函数图象来判断,即运用数形结合的方法,把方程与函数联系起来.这里需要建立一个概念：方程的根（解）就是函数图象与x轴的交点的横坐标（数学上称零点）,方程有几个根则函数图象与x轴就有几个交点,显然“方程的根”与“函数图象与x轴的交点”之间是严格的对应关系. 对于方程x^2+mx+1=0的两个不相等的负数根的条件设置可以这样考虑：首先要分析一下二次函数y=x^2+mx+1的图象.虽然函数式中含有未知的参数,但有一些特征还是能够看出来的.因为二次系数为1,表示它是一个开口向上的抛物线；因常数项为1,表明图象的在y轴上的截距为正,即图象交于y轴的正半轴；因对称轴x=-m/2中含有不确定的参数,则对称轴可以在任意垂直于x轴的位置.其次来分析一下图象对称轴的位置与根的关系.如果对称轴在x轴的正半轴上,考虑到开口向上、y轴截距为正,则图象与x轴如果有两个交点,则两个交点必在x轴的正半轴上,也就表示方程的两个根都是正数根,显然不符合条件.如果对称轴在原点,考虑到开口向上、y轴截距为正,则图象与x轴不可能有交点,也就表示方程没有根,显然也不符合条件.所以对称轴一定在x轴的负半轴上,因开口向上、y轴截距为正,则图象与x轴如果有两个交点,则两个交点必在x轴的负半轴上,也就表示方程的两个根都是负数根,显然符合条件.于是就产生了第一个需要满足的约束条件：-m/2<0.本题用x1+x2<0也具有相同的效果,当然x1+x2=-m是由韦达定理得来的,显然这个方式比较繁琐.最后再分析一下判别式与根的数量的关系.前面分析的只是对称轴的位置,并不能保证图象与x轴一定有两个交点.要确保方程有两个根,即确保图象与x轴有两个交点,必有△>0,这就是本题的第二个要满足的约束条件.