Question

已知奇函数f(x)定义在R上,且满足f(x+2)=[1+f(x)]=1-f(x),若f(3)=1,则f(2001)=

Answer 1

首先因为f(3)=1,有f(3)=f(1+2)=1-f(1)=1

故f(1)=0;

因为f(x+2)=[1+f(x)]=1-f(x),

故有f(x+2)==1-f(x)=1-f((x-2)+2)=1-(1-f(x-2))=f(x-2)

故设y=x+2,则x=y-2,带入有f(y)=f(y-4)

递推得出有f(y)=f(y-4k)

故有f(2001)=f(2001-4*500)=f(1)=0.