Question

已知函数FX=（2ax+a^2-1）/x^2+1，其中a属于R（1）当a=1时，求曲线在原点处的切线方程（2）求单调区间

Answer 1

（1） a = 1， f（x） = 2x/（x2 +1） f'（x） = [2（x2+1） -2x（2x）]/（x2+1） = 2（1 -x2）/（x2+1） f'（0） = 2 在原点处的切线方程： y - 0 = f'（0）（x - 0） = 2x y = 2x（2）（i） a = 0 f（x） = -1/（x2 +1） f'（x）= 2x/（x2 +1） x ＜ 0： f'（x） ＜ 0， 减函数 x ＞0： f'（x） ＞ 0， 增函数 （ii） a ≠ 0 f'（x） = [2a（x2 +1） - （2ax + a2 -1）（2x）]/（x2 +1） = [-2ax2 -2（a2 -1）x+2a]/（x2 +1）2 分母总为正，现在只考虑分子. g（x） = -2ax2 -2（a2 -1）x+2a = -2a[x2 + （a - 1/a）x -1] = -2a（x + a）（x - 1/a） = 0 x1 = -ax2 = 1/a（a） a＜ 0： g（x）为开口向上的抛物线 x ＞ -a或x ＜ 1/a时， f'（x） ＞ 0， 增函数 1/a ＜ x ＜ -a时， f'（x） ＜ 0， 减函数 （b） a ＞ 0： g（x）为开口向下的抛物线 1/a ＜ x ＜ -a时， 1/a ＜ x ＜ -a时， x ＞ -a或x ＜ 1/a时， f'（x） ＜ 0， 减函数 （3） （i） a = 0时，f（x）只有最小值，不成立 （ii）要使f（x）在[0，+无穷）上存在最大值和最小值， 须x1， x2均在此区间内， 即二者同号，这显然不可能.