Question

设椭圆的中心再原点O,焦点再x轴上,离心率为√6/3,椭圆上的一点P到两焦点的距离的和等于6,设该椭圆的左右两个焦点为F

Answer 1

x^2/a^2+y^2/b^2=1

P到两焦点的距离的和等于6,

所以2a=6

a=3

e=c/a=√6/3

c=√6

所以b^2=a^2-c^2=3

x^2/9+y^2/3=1

F1(-√6,0),F2(√6,0)

F1F2=2√6

P(m,n)

PF1垂直PF2

所以PF1^2+PF2^2=F1F2^2

(m+√6)^2+n^2+(m-√6)^2+n^2=24

2m^2+2n^2=12

m^2+n^2=6

P在椭圆上

所以m^2/9+n^2/3=1

m^2+3n^2=9

所以n^2=3/2,m^2=9/2

|n|=√6/2

所以面积等于|F1F2|*|n|/2=3

P有四解(3√2/2,√6/2)

(-3√2/2,√6/2)

(3√2/2,-√6/2)

(-3√2/2,-√6/2)