解题思路：（1）根据所给的A、B的值，代入二次函数，可求出a、b的值，得到二次函数的表达式；
（2）由点的坐标可得到△AOC是等腰直角三角形，从而得到∠CMD=90°，再利用扇形面积公式可计算出面积；
（3）利用三角形的相似，得到比例线段求出m的值，需考虑到有两种情况．
（1）依题意得：
a−b−1＝0
m2a+mb−1＝0，
解得：
a＝
1
m
b＝
1−m
m，
∴抛物线的解析式为：y=[1/m]x2+[1−m/m]x-1；
（2）∵x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC＝
m2+1，
∴S＝
1
4π•MC2＝
1
4π•
BC2
2＝
(m2+1)π
8；
（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则P关于对称轴的对称点P'也符合题意，即P、P'对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，[AB/AP＝
AC
AB]，
过P作PD⊥x轴垂足为D，连PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在抛物线上，
则有x+1=[1/m]x2+[1−m/m]x-1．
即x2+（1-2m）x-2m=0，
解得x1=-1，x2=2m，
∴P1（2m，2m+1），P2（-1，0）显然P2不合题意，舍去．
此时AP=
2PD=（2m+1）
2；①
又由[AB/AP＝
AC
AB]，得AP＝
AB2
AC＝
(m+1)2
2；②
由①、②有：（2m+1）
2=
(m+1)2
2．
整理得：m2-2m-1=0，
解得：m=1±
2，
∵m＞0，
∴m=1+
2．
即若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则m=1+
2；（8分）
情形二：△ABC∽△PAB，
则∠PAB=∠ABC，[AB/AP＝
BC
AB]，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴[PD/AD＝
OC
OB＝
1
m]，
∴可令P（x，[1/m]（x+1）），
若P在抛物线上，则有[1/m]（x+1）=[1/m]x2+[1−m/m]x-1．
整理得：x2-mx-m-1=0，
解得：x1=-1，x2=m+1，
∴P（m+1，[1/m]（m+2））或P（-1，0），
显然P（-1，0）不合题意，舍去．
此时AP＝
AD2+PD2＝
(m+2)
m2+1
m；①
又由[AB/AP＝
BC
AB]得：AP＝
AB2
BC＝
(m+1)2
m2+1；②
由①、②得：
(m+2)
m2+1
m＝
(m+1)2
m2+1，
整理得m2=m2+1，显然无解．（10分）
综合情形一二得：若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则m=1+
2．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；扇形面积的计算；相似三角形的性质．
考点点评： 综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，圆心角等于圆周角的2倍．相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，具有较强的综合性．