解题思路：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（2）欲求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值，先求f（x）在区间[0，1]上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值．
（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）eax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)＝0，得x(ax+2)＝0，故x＝0或x＝−
2
a.
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜−
2
a，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，−
2
a)上单调递增；
若x＞−
2
a，则f′(x)＜0，从而f(x)在(−
2
a，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=ea．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(−
2
a)＝
4
a2e2.
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．