Question

证明:2[根号下(n+1)-1]小于1+1/根号2+1/根号3+------+1/根号n小于2根号n

Answer 1

数学归纳法

当n=1时,有左边不等式成立

假设n=k时成立,n=k+1时,由于

2[√(n+2)-√(n+1)]=2/[√(n+2)+√(n+1)]＜2/2√(n+1)=1/√(n+1)

加上n=k时的不等式就得到n=k+1时的不等式；

当n=1时右边不等式成立

假设n=k+1时成立,n=k+1时,由于

2[√(n+1)-√n]=2/[√(n+1)+√n]＞2/2√n=1/√n

加上n=k时的不等式就得到n=k+1时的不等式