Question

已知函数f（x）=|log2x-1|+log2（x-1），x∈（1，4]．

Answer 1

解题思路：（1）先对已知函数化简，然后令f（x）=0可求函数的零点

（2）由（1）的化简，求出每段函数的值域，然后根据分段函数的值域即可求解函数f（x）的值域

（1）∵f（x）=|log₂x-1|+log₂（x-1），x∈（1，4]．

=

log2(x−1)x−1，x∈(2，4]

log2

x−1

x+1，x∈(1，2]

令f（x）=0可得log₂x（x-1）-1=0或log2

x−1

x+1=0

整理可得，x²-x-2=0或[x−1/x＝

1

2]

解可得，x=2

（2）f（x）=

log2(x−1)x−1，x∈(2，4]

log2

x−1

x+1，x∈(1，2]

当x∈（2，4]时，x²-x∈（2，12]，f（x）∈（0，log₂6]

当x∈（1，2]时，

x−1

x∈(0，

1

2]，f（x）∈（-∞，0]

故函数f（x）的值域为（-∞，log₂6]

点评：

本题考点： 函数的零点；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查了函数的零点的求解及函数值域的求解，解题的关键是对已知函数解析式的化简