Question

已知抛物线C：y=-[1/2]x2+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．

Answer 1

解题思路：（1）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．

（2）设出AB直线方程，与抛物线方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，

使用基本不等式求最大值．

（Ⅰ）证：易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．

代入y=-[1/2]x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根x_A及2，

由韦达定理得：

2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．∴y_A=k（x_A-2）+4=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．

由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k．

同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）

∴k_AB=2．

（Ⅱ）∵AB的方程为y=2x+b，b＞0．代入方程y=-[1/2]x²+6消去y得[1/2]x²+2x+b-6=0．

|AB|=2

(1+22)[4−2(b−6)]＝2

5(16−2b)．

∴S=[1/2]|AB|d=[1/2]•2

5(16−2b)•

b

5

(16−2b)•b•b≤

(

16−2b+b+b

3)3＝

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点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．