Question

设f(x)是以2派 为周期的连续函数,证明：存在x,使f(x+派)=f(x.)

Answer 1

考察函数 g(x)=f(x+π)-f(x) ,

由于 f(x) 是以 2π 为周期为周期函数,f(x+2π)=f(x) ,

因此 g(x+π)=f(x+2π)-f(x+π)=f(x)-f(x+π)= -g(x) 对任意实数 x 都成立,

所以,若 g(x)≡0 ,则 f(x+π)=f(x) 恒成立；

若 g(x) 不是恒为 0 ,设存在 a 使 g(a)>0 ,则 g(a+π)= -g(a)