Question

已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x），（a＜0

Answer 1

（I）设x∈（0，e]，则-x∈[-e，0）．

而f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）-lnx]=ax+lnx．

∴ f(x)=

ax-ln(-x)，x∈[-e，0)

ax+lnx，x∈(0，e] ．

（II）假设存在实数a，使得当x∈（0，e]时f（x）的最大值是-3．

f ′ (x)=a+

1

x =

ax+1

x ，

（i）当 -

1

a ≥e 时，即 -

1

e ≤a＜0 时．f（x）在（0，e]上是增函数，

∴f（x） _max=f（e）=ae+1=-3，解得 a=

-4

e ＜-

1

e ，应舍去．

（ii）当 -

1

a ＜e 时，即 a＜-

1

e 时．

列表

由表格可知： f(-

1

a )=-1+ln(-

1

a )=-3 ，得a=-e ²．

故存在实数a=-e ²，使f（x）在（0，e]上取得最大值-3．