Question

甲、乙两位同学在实验室里分别用稀硫酸和浓盐酸与石灰石反应制取二氧化碳，甲同学发现开始时有少量气泡冒出，一会儿后就不再产生

Answer 1

解题思路：（1）先由S₃=a

2

2

，利用等差数列的性质，求出a₂；再由S₁，S₂，S₄成等比数列，利用等比数列的性质，求出公差d，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（2）由（1）知若{a_n}又是等比数列，则a_n=3，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，

∵S₃=a

22，∴3a2＝a22，

解得a₂=0或a₂=3，

∵S₁，S₂，S₄成等比数列，

∴S22＝S1S4，

∵S₁=a₂-d，S₂=2a₂-d，S₄=4a₂+2d，

∴(2a2−d)2＝(a2−d)(4a2+2d)，

若a₂=0，则d²=-2d²，解得d=0，此时S₂=0，不合题意；

若a₂=3，则（6-d）²=（3-d）（12+2d），

解得d=0或d=2，

∴a_n=3或a_n=2n-1．

（2）由（1）知若{a_n}又是等比数列，则a_n=3，

∴S_n=3n，

∴b_n=[9

Sn•Sn+1=

9

3n•3(n+1)=

1

n(n+1)=

1/n−

1

n+1]，

∴数列{b_n}的前n项和

T_n=（1-[1/2]）+（[1/2−

1

3]）+（[1/3−

1

4]）+…+（[1/n−

1

n+1]）

=1-[1/n+1]

=[n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的合理运用，注意裂项求和法的合理运用，易错点是容易产生增根或容易丢解．