六．高考出题 “三点变戏”
关于圆的高考题,按“三点替换法”设计,可得到不同层次的考题难度,其操作办法也很有“程序”.
(1)直接给出3个基本条件,就是容易题；
(2)替换其中一,二个基本条件,得中档案；
(3)三个基本条件全部替换,或有的条件替换较“远”,则得到高难题.
当年那道求圆方程的高考压轴题,就是把三个基本条件全部替换了,而且有一条件“替换较远”.
【例6】.设圆⊙P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x -2y =0的距离最小的圆的方程.
【分析】确定圆的条件给得非常明白,并开出了①,②,③ 的清单. 解题的功夫在于如何将这3个条件分别转化为圆方程的3个参数：在圆的几何式中是参数a,b,r ；在圆的代数式中是参数D,E,F.
由于题设中的几何特征明显,故优先考虑圆方程的几何形式
(x－a )2 + (y－b )2 = r 2
【解析】 设圆的圆心为P(a,b),半径为r. 易知点P到x轴,y轴的距离分别为
|b|,|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,∴圆P截x轴所得的弦长为 r,故得等式
r 2=2b2. ①
又圆P截y轴所得的的弦长为2,所以有r 2=a 2+1. 从而得
2b2-a 2=1 ②
又点P (a,b)到直线x-2y=0的距离为d = ,所以
5d 2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2 －2(a2+b2)=2b2－a2=1,其等号成立的条件是
a=b ③
【插话】至此,关于a、b、r 的三个方程全部到齐,联立①、②、③ 即可解出
a、b、r 的值,其具体过程如下.
当且仅当a=b时,关于d的不等式中的等号成立,从而要使d取得最小值,则应有
,
解此方程组得 或 . 又由
r2=2b2知r= .
于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
【点评】高考命题人把三个参数a、b、r 当作“谜底”深藏到三个“替换条件”中去,而解题人却把三个“替换条件”转变成关于a、b、r “三元三列方程组”,从而把三个参数a、b、r 找了回来. 这就是高考命题的“技术”,这就是考场解题的“能力”.