Question

函数f(x)在闭区间[a,b]上严格单调且连续,f(a)=A,f(b)=B,证明f([a,b])=(A,B)

Answer 1

不妨设f(x)单调增,任取y0∈[A,B],定义g(x)=f(x)-y0,则g(a)=0,由介值定理知存在x0∈[a,b]使f(x0)=y0,即[A,B]⊆f([a,b]);

另一方面,任取y1∈f([a,b]),由于f(x)单调增,必有A