Question

设函数f(x)=1/3x³-ax(a＞0),g(x)=bx²+2b-1,若函数y=f(x)与曲线y=

Answer 1

①f(x)=1/3*x^3-ax (a>0),f'(x)=x^2-a

g(x)=bx^2+2b-1,g'(x)=2bx

f(x)与g(x)在焦点(1,c)有公切线

则在焦点处函数值相同,且切线斜率相同

即有：f(1)=1/3-a=b+2b-1=g(1)

f'(1)=1-a=2b=g'(1)

联立可解得

a=1/3,b=1/3

②若a=1-2b,则 b=(1-a)/2

h(x)=f(x)+g(x)

=1/3*x^3-ax+(1-a)x^2/2-a

h'(x)=x^2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a)

易知h(x)有两个极值点,分别为x=-1,x=a

若a≤-1,则1-a≥2

极小值为h(-1)=-1/3+1/2-a/2>0

由曲线性质知,此时最多只有一个零点

若a>-1,则1-a