Question

已知椭圆C：(x^2/4)+y^2=1,过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C交于A、B两点,AF=3FB.求k.

Answer 1

做椭圆右准线,从A、B分别做准线的垂线AM、BN,垂足M、N,

做BD⊥AM,垂足D,

根据椭圆第二定义,

e=|AF|/|AM|,

e=|BF|/BN|,

|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3,

|AM|=3|BN|,

|MD|=|NB|,

|AD|=2|MD|,

|AD|=2|MA|/3,

又因|AF|/|AM|=√3/2,所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,

∴|AD|/|AB|=√3/3,

设直线倾斜角是θ,即有cosθ=√3/3,

所以直线斜率k=tanθ=√2.