已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+[1/a])(b+[1/b])≥[25/4].

2个回答

  • 解题思路:首先分析题目已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+[1/a])(b+[1/b])≥[25/4].可以考虑用基本不等式求得ab≤[1/4],直接展开左侧,利用基本上的性质,求证

    (a+

    1

    a

    )(b+

    1

    b

    )−

    25

    4

    ≥0

    即可.

    因为已知a+b=1,a>0,b>0,

    ∴根据基本不等式a+b≥2

    ab,

    ∴0<ab≤[1/4],

    又(a+

    1

    a)(b+

    1

    b)=

    a2+1

    a⋅

    b2+1

    b=

    a2b2−2ab+2

    ab=

    (1−ab)2+1

    ab≥[25/4](取等号时a=b=[1/2])

    ∴(a+

    1

    a)(b+

    1

    b)≥

    25

    4

    即得(a+

    1

    a)(b+

    1

    b)≥

    25

    4.

    点评:

    本题考点: 不等式的证明.

    考点点评: 此题主要考查不等式的证明问题,其中涉及到基本不等式的应用和比较法证明不等式的思想,涵盖知识点少,有一定的计算量属于中档题目.