Question

一个线性代数题四阶行列式 1 1 1 1x a b cx^2 a^2 b^2 c^2x^3 a^3 b^3 c^3求达人

Answer 1

将行列式看做x的多项式f(x),该行列式为多项式f(x)=αx^3+βx^2+γx+δ=α(x-x1)(x-x2)(x-x3).其中α、β、γ、δ、x1、x2、x3为复数.

由行列式基本性质,f(a)=f(b)=f(c)=0,所以x1、x2、x3为a、b、c

即f(x)=α(x-a)(x-b)(x-c)

x^3项系数α的相反数为三阶行列式

1 1 1

a b c

a^2 b^2 c^2

同理将该三阶行列式看做关于a的多项式f(a)可得f(a)=u(a-b)(a-c)

a^2项的系数u为二阶行列式

1 1

b c

=(c-b)

所以f(a)=(c-b)(a-b)(a-c)

α=（a-b)(a-c)(b-c)

即f(x)=（a-b)(a-c)(b-c)(x-a)(x-b)(x-c).

另外,这个是个范德蒙德行列式