设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则(  )

2个回答

  • 解题思路:此题直接用函数和其原函数的关系来做,比较麻烦.用举例法来排除选项.

    (1)选项B,设f(x)=x2,它是偶函数,f(x)的原函数是F(x)=[1/3x3+C(C为任意常数),但F(x)并不是奇函数(除了C=0外),所以排除B.

    (2)选项C,设f(x)=sin2x,但它的原函数F(x)=

    1

    2x−

    1

    4sin2x+C(C为任意常数)不是周期函数,所以排除C.

    (3)选项D,设f(x)=x,它是R上的增函数,但它的原函数F(x)=

    1

    2x2+C(C为任意常数),不是R上的增函数,所以排除D.

    (4)选项A,由题意设F(x)

    =∫x0f(t)dt+C(C为任意常数),则F(−x)

    =∫−x0f(t)dt+C

    令u=−t

    .]-

    ∫x0f(−u)du+C,

    ∴如果f(x)是奇函数,则有f(-u)=-f(u)

    ∴F(-x)=

    ∫x0f(u)du+C=F(x),选项A正确.

    故选:A.

    点评:

    本题考点: 函数的奇偶性.

    考点点评: 对于一些常见的奇偶函数、周期函数、单调函数例子,要熟悉.在举反例的时候,就能做到顺手拈来.