Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AB1与BC的距 2、直线A1B与AD1的距离、

Answer 1

1、连结A1B,交AB1于E,则A1B⊥AB1,（正方形对角线互相垂直）,

BC⊥平面ABB1A1,AB1∈平面ABB1A1,

BC⊥A1B,

故BE是异面直线AB1与BC的公垂线,

BE=a√2/2.

2、连结AC、CD1AD1,

A1D1=BC,且A1D1//BC,

四边形BCD1A1是平行四边形,

A1B//CD1,

CD1∈平面ACD1,

A1B//平面AD1C,

A1B与AD1两异面直线的距离就是A1B与平面ACD1的距离,

利用等体积法,即可求出其距离,

对于三棱锥C-AA1D1,高为CD=a,底面积AA1D1=a*a/2=a^2/2,

VC-AD1A1=a^2/2*a/3=a^3/6,

对于三棱锥A1-ACD1,

底面三角形ACD1是正三角形,边长是正方形的对角线为√2a,

S△ACD1=√3*（√2a）^2/4=√3a^2/2,

设A1至平面ACD1距离为d,

VA1-ACD1=S△ACD1*d/3=d√3a^2/6,

VC-AD1A1=VA1-ACD1,

d√3a^2/6=a^3/6,

d=√3a/3.

直线A1B与AD1的距离为√3a/3.