Question

已知椭圆x方除以a方+y方除以2=1｛a＞根号2｝的离心率为根号2除以2,双曲线c与该椭圆有相同焦点,

Answer 1

椭圆e=c/a=根号2/2,即有c^2/a^2=1/2,a^2=2c^2=2(a^2-2),得到a^2=4,c^2=2,

即双曲线的焦点坐标是(土根号2,0),设双曲线方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1,渐进线方程是bx土ay=0

那么圆心(0,根号2)到渐进线的距离等于半径1,即有|根号2a|/根号(a^2+b^2)=1

即有根号2a=c=根号2,即有a=1

b^2=c^2-a^2=2-1=1

即双曲线方程是x^2-y^2=1.