Question

整数p，q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x2+px+q=0的两个根均为正整数，则p= ___ ．

Answer 1

解题思路：因为方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b²-4ac≥0，由根与系数的关系可知：x₁+x₂＞0；x₁．x₂＞0，再由已知条件整数p，q满足p+q=2010，由此可以求出p的取值．

令p=67a，q=67b，

∵p+q=2010，

∴67（a+b）=2010，即a+b=30，

∴由根与系数的关系可知：

x1+x2=-

p

67=-a

x1x2=

q

67=b

x1x2-x1-x2=a+b=30

(x1-1)(x2-1)=31，

设

x1-1=1

x2-1=31

x1=2

x2=32，

∴

a=-34

b=64，

∴p=67a=-2278，

故答案为：p=-2278．

点评：

本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如任意一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0）有两个根x1，x2，则x1+x2=-[b/a]；x1．x2=[c/a]．