1.先来锐角.
连接OB,OC,因为作OD⊥BC于点D,因为OB=OC,所以△BOC是等腰三角形,BC边上的高平分∠BOC,即:∠BOC=2∠BOD.点D平分BC.即:BD=(1/2)BC=(1/2)a ----①
所以BD=Rsin∠BOD ----------②
而由圆心角=2倍圆周角可得∠BOC=2∠A,因此∠BOD=∠A -----③
①③代入②式,得(1/2)a=RsinA,即a=2RsinA
同理可证:b=2RsinB,c=2RsinC
直角就更简单了.
假设AC为斜边,则AC=2R,∠B=90°
a=ACsinA=2RsinA,
c=ACsinC=2RsinC,
b=2R=2RsinB
其他边为斜边的情况同理可证.
钝角的情况:
假设∠B为钝角,a=2RsinA,c=2RsinC的证法和锐角三角形的证法一样,作高,以下省略.(这个不用重复了吧?)
关于b=2RsinB的证法:
也是从点O作OM⊥AC于点M.边AC的圆周角=π-∠B=(1/2)∠AOC
所以∠COM=(1/2)∠AOC=π-∠B
(1/2)b=CM=Rsinπ-∠B=RsinB
所以b=2RsinB
2..根据正弦定理,acosA=bcosB变为2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B,即2A=2B或者2A=π-2B,所以△ABC是A=B的等腰△或是角C为直角的直角△