糖水不等式,君子不等式的性质及证明

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  • 糖水问题

    在含有a克糖的b克糖水中,加入m克糖,糖水会变甜.

    这一事实中,我们可以得到这样一个数学命题:

    如果b>a>0,那么a/b<(a+m)/(b+m),其中m>0,m为实数

    从化学角度说,糖水会变甜,指溶解在水中的糖的质量分数变大了

    原糖水中溶解在水中的糖的质量分数=a/b*100%

    加入m克糖,即溶液中溶质的量增大了,增大后溶解在水中的糖的质量=a+m

    同样的,溶液的质量也增大了,增大后溶液的质量变为b+m

    所以加入m克糖后,溶解在水中的糖的质量分数增大为=(a+m)/(b+m)*100%

    溶液质量大于溶质质量大于0,b>a>0

    从而得到结论a/b<(a+m)/(b+m) (注意 m取值范围m>0,m为实数)

    从数学角度,我们则要进行计算,如下:

    (a+m)/(b+m)-a/b

    =[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b

    =m(b-a)/(b+m)b

    其中(b+m)b 为分母,(b+m)b>0

    m(b-a)为分子,由b>a>0,可知m(b-a)>0

    所以m(b-a)/(b+m)b >0

    即(a+m)/(b+m)-a/b>0

    可知(a+m)/(b+m)>a/b

    从而得到结论a/b<(a+m)/(b+m) (注意 m取值范围m>0,m为实数)

    均值不等式的证明

    证明方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

    下面介绍个好理解的方法

    琴生不等式法

    琴生不等式:上凸函数f(x),x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点,

    则有:f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

    设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数

    所以,ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)

    即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)