Question

（2008•宝坻区一模）设直线l：y=x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相

Answer 1

解题思路：（1）把直线l的方程与椭圆方程联立，利用△＞0即可得出；

（2）以AB为直径的圆过原点⇔OA⊥OB⇔x₁x₂+y₁y₂=0，再利用根与系数的关系，即可得出．

（1）∵直线l与椭圆相交，联立方程

y＝x+1

b2x2+a2y2＝a2b2

∴（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，

∵△＝4a4−4(a2+b2)a2(1−b2)＞0

∴a2−(a2+b2)(1−b2)＞0

∴b²（a²+b²）＞b²

∴a²+b²＞1，

（2）设F（-c，0），c²=a²-b²依题意c=1，则a²-b²=1，

设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由（1）知：△＞0得

x1+x2＝

−2a2

a2+b2

x1x2＝

a2(1−b2)

a2+b2，

以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，从而x₁x₂+y₁y₂=0

即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，

把韦达定理式代入

2a2(1−b2)

a

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

考点点评： 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及其根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质等是解题的关键．