Question

一道高等数学求极限的问题当x→0时函数[（a∧x+b∧x）/2]∧3/x；（其中ab大于0且为常数）的极限是?拜托高手可

Answer 1

设 f(x) = [(a^x+b^x)/2]^(3/x) ,ln f(x) = (3/x) ln (a^x+b^x)/2

当x->0时, a^x -1 ~ x * lna, b^x - 1 ~ x * lnb, (a^x+ b^x) /2 ->1

ln[(a^x+ b^x)/2] = ln[ 1+ (a^x+ b^x)/2 - 1] ~ (a^x + b^x)/2 -1

lim(x->0) ln f(x)

= lim(x->0) 3 [(a^x + b^x)/2 -1] / x

= (3/2) lim(x->0) [(a^x -1)/ x + (b^x -1)/ x ]

= (3/2) (lna + lnb) = ln (ab)^(3/2)

原式 = (ab)^(3/2)