|A| =
|1 1 k|
|-1 k 1|
|1 -1 2|
|A| =
|1 2 k-2|
|-1 k-1 3|
|1 0 0|
|A| =
| 2 k-2|
|k-1 3|
|A| =6-(k-1)(k-2)=4+3k-k^2=-(k+1)(k-4)
当 k≠-1 且 k≠4 时,原方程组有唯一解.
当 k=-1 时,增广矩阵 (A,b) =
[1 1 -1 4]
[-1 -1 1 1]
[1 -1 2 -4]
行初等变换为
[1 1 -1 4]
[0 0 0 5]
[0 -2 3 -8]
行初等变换为
[1 1 -1 4]
[0 -2 3 -8]
[0 0 0 5]
r(A)=2,R(a,b)=3,原方程组无解.
当 k=4 时,增广矩阵 (A,b) =
[1 1 4 4]
[-1 4 1 16]
[1 -1 2 -4]
行初等变换为
[1 1 4 4]
[0 5 5 20]
[0 -2 -2 -8]
行初等变换为
[1 1 4 4]
[0 1 1 4]
[0 0 0 0]
r(A)=R(a,b)=2,原方程组有无穷多解.
此时方程组同解变形为
x1+x2=4-4x3
x2=4-x3
取 x3=0,得特解 (0,4,0)^T
导出组即对应的齐次方程组是
x1+x2=-4x3
x2=-x3
取 x3=1,得基础解系 (5,-1,1)^T,
则方程组的通解是 x=(0,4,0)^T+k(5,-1,1)^T,
其中k为任意常数.